Définition
Définition :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un voisinage de \(a\).
On dit que \(f\) est négligeable devant \(g\) au voisinage de \(a\) s'il existe une fonction \(\varepsilon\) définie au voisinage de \(a\), de limite égale à \(0\) en \(a\) et telle que \(f(x)=\varepsilon(x)g(x)\) au voisinage de \(a\)
On note \(f(x)\underset{x\to a}=o(g(x))\) ou bien \(f(x)\underset a=o(g(x))\), voire \(f=o(g)\), et on dit que \(f\) est un "petit o" de \(g\) au voisinage de \(a\)
(
Voisinage,
Limite)
On écrit \(u_n=o(v_n)\) si on a \(u_n=\varepsilon_nv_n\) (pour \(n\gg0\)) où \(\varepsilon_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\)
Si \(u_n,v_n\gt 0\), cela équivaut à $$\frac{u_n}{v_n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$
Définition d'un petitot :
- soit \(R:E\to F\), avec \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- $$\displaystyle{\lim_{h\to0} }\frac{\lVert R(h)\rVert_F}{\lVert h\rVert_E^k}=0$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(R(h)\) est un \(o(\lVert h\rVert^k)\)
- on dit que \(R(h)\) est négligeable devant \(h^k\)
[!Remark]
Il vaut mieux écrire \(R(h)=\lVert h\rVert^k\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h)\underset{h\to0}\longrightarrow0\) que \(R(h)=o(\lVert h\rVert^k)\)
Formule
$${{n^\alpha u_n\longrightarrow0}}\implies {{u_n=o\left(\frac1{n^\alpha}\right)}}$$
Propriétés
Liens avec le grandot
Si \(u_n,v_n\gt 0\), on a :$${{u_n=o(v_n)}}\implies {{u_n=O(v_n)}}$$
(
Grandot)
